Пример ранжирования. Правила ранжирования. О подборке факторов

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ

Введение

В настоящее время междисциплинарный подход становится все более привычным в практике подготовки специалистов. Широко он используется и при подготовке психологов. Именно на стыке математических и психологических предметов родилась сравнительно новая дисциплина «Математические методы в психологии».

Благодаря проникновению математического аппарата в психологию, последняя смогла выйти за рамки интроспекции и получила возможность количественно описывать и сравнивать наблюдаемые явления. Впоследствии некоторые методы, такие как корреляционный и факторный анализ, появились именно благодаря усилиям психологов. Именно математический аппарат является удобным инструментом описания и моделирования тех или иных явлений в различных отраслях человеческой деятельности.

Современному психологу владение математическим статистикой необходимо прежде всего потому, что без нее психолог не сможет обосновать свои рассуждения и будет не в состоянии доказать закономерность своих выводов. Знания этого предмета также необходимы, чтобы быть хорошим психодиагностом, математически правильно понимать и интерпретировать результаты тестирования.

Тема 1 Проблемы измерения в психологии и виды шкал

Виды шкал

Измерение – это приписывание числовых форм объектам. Выделяют 4 типа измерительных шкал.

1. Номинативная (номинальная, категориальные)
2. Порядковая (ранговая, ординальная)
3. Интервальная
4. Шкала отношений

Последние два вида шкал называют также метрическими шкалами.

Номинативная шкала – это шкала, в которой не выражены количественные характеристики объектов. Учитывается только то свойство объектов, что они разные. Эта шкала используется для классификации объектов. Например:

Таким образом, людей по критерию выполнения-невыполнения задания можно отнести к одному из двух разрядов. Разрядов в номинативной шкале может быть и больше.

Порядковая (ранговая) шкала позволяет ранжировать объекты (присваивать им ранги) по какому-либо признаку. Например:

То есть, по этой шкале уже можно количественно зафиксировать степень выраженности.

На этой шкале может быть нулевая отметка, но выбранная произвольно. Так, на температурной шкале Цельсия (интервальная шкала) за 0° выбрана температура таяния воды при давлении в 1 атм.

Абсолютная шкала (шкала отношений) - шкала, классифицирующая по принципу «больше (меньше) в определенное количество раз.

Из этой шкалы видно, что Кор-в выполнил задание в 2 раза медленнее Мих-ва и в 0,6 раз медленнее Вас-ва. Эта шкала отличается от предыдущей тем, что предполагает наличие абсолютного нуля. Например, у температурной шкалы по Кельвину (шкала отношений) за 0° выбрана точка, когда любое тепловое движение молекул прекращается.

Интервальную и абсолютную шкалы также принято называть метрическими шкалами.

Типы данных

Данные – это основные элементы, подлежащие классифицированию или разбитые на категории с целью обработки. Выделяют три типа данных:

1. Метрические данные: количественные данные, получаемые при измерениях. Их можно распределить на шкале интервалов или отношений.
2. Ранговые данные, соответствующие местам этих элементов в последовательности, полученной при их расположении в возрастающем порядке. Эти данные можно представить в виде порядковой шкалы.
3. Номинативные данные: категориальные (качественные) данные, представляющие собой особые свойства элементов выборки. Например, цвет глаз у испытуемых. Эти данные нельзя измерить, но можно оценить их частоту встречаемости.

Правила ранжирования

Использование порядковой шкалы позволяет присваивать ранги объектам по какому-либо признаку. Таким образом, метрические значения переводятся в ранговые. При этом фиксируются различия в степени выраженности свойств. В процессе ранжирования следует придерживаться 2 правил.

Правило порядка ранжирования. Надо решить, кто получает первый ранг: объект с самой большей степенью выраженности какого-либо качества или наоборот. Чаще всего это абсолютно безразлично и не отражается на конечном результате. Традиционно принято первый ранг приписывать объектам с большей степенью выраженности качества (большему значению – меньший ранг). Например, чемпиону присуждают первое место, а не наоборот. Хотя, и здесь если бы был принят обратный порядок, то результаты от этого не изменились бы. Так что порядок ранжирования каждый исследователь вправе определять сам. Например, Е.В. Сидоренко рекомендует меньшему значению приписывать меньший ранг. В некоторых случаях это удобнее, но непривычнее.

Напрмер: имеется неупорядоченная выборка, данные которой необходимо проранжировать. {2, 7, 6, 8, 11, 15, 9}. После упорядочивания выборки ранжируем ее.

Отдельно следует сказать следующее. Существует группа редко используемых непараметрических критериев (Т-критерий Вилкоксона, U-критерий Манна-Уитни, Q-критерий Розенбаума и др.), при работе с которыми всегда надо меньшему значению приписывать меньший ранг.

Правило связанных рангов. Объектам с одинаковой выраженностью свойств приписывается один и тот же ранг. Этот ранг представляет собой среднее значение тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. Например, надо проранжировать выборку, содержащую ряд одинаковых метрических данных: {4, 5, 9, 2, 6, 5, 9, 7, 5, 12}. После упорядочивания выборки следует вычислить среднее арифметическое значение связанных рангов.

Использование порядковой шкалы позволяет присваивать ранги объектам по какому-либо признаку. Таким образом, метрические значения переводятся в ранговые. При этом фиксируются различия в степени выраженности свойств. В процессе ранжирования следует придерживаться 2 правил.

Правило порядка ранжирования. Надо решить, кто получает первый ранг: объект с самой большей степенью выраженности какого-либо качества или наоборот. Чаще всего это абсолютно безразлично и не отражается на конечном результате. Традиционно принято первый ранг приписывать объектам с большей степенью выраженности качества (большему значению – меньший ранг). Например, чемпиону присуждают первое место, а не наоборот. Хотя, и здесь если бы был принят обратный порядок, то результаты от этого не изменились бы. Так что порядок ранжирования каждый исследователь вправе определять сам. Например, Е. В. Сидоренко рекомендует меньшему значению приписывать меньший ранг. В некоторых случаях это удобнее, но непривычнее.

Например: имеется неупорядоченная выборка, данные которой необходимо проранжировать. {2, 7, 6, 8, 11, 15, 9}. После упорядочивания выборки ранжируем ее.

Отдельно следует сказать следующее. Существует группа редко используемых непараметрических критериев (Т-критерий Вилкоксона, U-критерий Манна-Уитни,Q-критерий Розенбаума и др.), при работе с которыми всегда надо меньшему значению приписывать меньший ранг.

Правило связанных рангов. Объектам с одинаковой выраженностью свойств приписывается один и тот же ранг. Этот ранг представляет собой среднее значение тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны. Например, надо проранжировать выборку, содержащую ряд одинаковых метрических данных: {4, 5, 9, 2, 6, 5, 9, 7, 5, 12}. После упорядочивания выборки следует вычислить среднее арифметическое значение связанных рангов.

Задания для самостоятельной работы.

Проранжировать выборку по правилу «большему значению – меньший ранг»: {111, 104, 115, 107, 95, 104, 104}.

Проранжировать выборку по правилу «меньшему значению – меньший ранг» {20, 25, 8, 7, 20, 14, 27}.

Объединить две предыдущие выборки и провести ранжирование по правилу «большему значению – меньший ранг»

Показатели каких признаков из Таблицы Iявляются номинативными, каких – метрическими?

Перевести показатели осведомленности из Таблицы IПриложения в ранговую шкалу. Выделить уровни выраженности показателей посредством их перевода в номинативную шкалу.

Таблица I Данные для обработки

Профиль ВУЗа: 0 - выбор учеником гуманитарного профиля;

1 - выбор учеником математического или естественно-научного профиля

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов , которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получа­ет средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

При подсчете критерия U легче всего сразу приучить себя дейст­вовать по строгому алгоритму.

АЛГОРИТМ 4

Подсчет критерия U Манна-Уитни.

1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим.

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания при­знака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему зна­чению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n 1 +п 2 ).

5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд , синие - в другой.

7. Определить большую из двух ранговых сумм.

8. Определить значение U по формуле:

где n 1 - количество испытуемых в выборке 1;

n 2 - количество испытуемых в выборке 2;

Т х - большая из двух ранговых сумм;

n х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.

9. Определить критические значения U по Табл. II Приложения 1. Если U эмп.>U к p 005 , Н о принимается. Если U эмп ≤ U к p _ 005 , Н о от­вергается. Чем меньше значения U, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.

Таблица 2.4

Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психа-логического факультетов

Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более "высоким" рядом оказывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.

Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:

H 0 : Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Н 1: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпи­рическую величину U:

Поскольку в нашем случае п\Фп2, подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей п х :

Такую проверку рекомендуется производить в некоторых руководствах (Рунион Р., 1982; Greene J., D"Olivera M., 1989). Для сопоставления с критическим значе­нием выбираем меньшую величину U: U эмп =60.

По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для n 1 =14, n 2 =12.

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если U эмп ≤ U к p

Построим "ось значимости".

U эмп = 60

U эмп > U к p

Ответ: H 0 принимается. Группа студентов-психологов не превос­ходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Обратим внимание на то, что для данного случая критерий Q Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физи­ков шире, чем в группе психологов: и самое высокое, и самое низкое значение невербального интеллекта приходится на группу физиков (см. Табл. 2.4).

Назначение критерия

Критерий предназначен для оценки различий одновременно между тремя, четырьмя и т.д. выборками по уровню какого-либо признака.

Он позволяет установить, что уровень признака изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает на направление этих из­менений.

Описание критерия

Критерий Н иногда рассматривается как непараметрический ана­лог метода дисперсионного однофакторного анализа для несвязных вы­борок (Тюрин Ю. Н., 1978). Иногда его называют критерием "суммы рангов" (Носенко И.А., 1981).

Данный критерий является продолжением критерия U на боль­шее, чем 2, количество сопоставляемых выборок. Все индивидуальные значения ранжируются так, как если бы это была одна большая выбор­ка. Затем все индивидуальные значения возвращаются в свои первона­чальные выборки, и мы подсчитываем суммы полученных ими рангов отдельно по каждой выборке. Если различия между выборками случай­ны, суммы рангов не будут различаться сколько-нибудь существенно, так как высокие и низкие ранги равномерно распределятся между вы­борками. Но если в одной из выборок будут преобладать низкие значе­ния рангов, в другой - высокие, а в третьей - средние, то критерий Н позволит установить эти различия.

Гипотезы

H 0 : Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют лишь случайные раз­личия по уровню исследуемого признака.

Н 1 : Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют неслучайные разли­чия по уровню исследуемого признака.

Графическое представление критерия Н

Критерий Н оценивает общую сумму перекрещивающихся зон при сопоставлении всех обследованных выборок. Если суммарная об­ласть наложения мала (Рис. 2.6 (а)), то различия достоверны; если она достигает определенной критической величины и превосходит ее (Рис. 2.6 (б)), то различия между выборками оказываются недостоверными.

Рис. 2.6. 2 возможных варианта соотношения рядов значений в трех выборках; штри­ховкой отмечены зоны наложения

Ограничения критерия Н

1. При сопоставлении 3-х выборок допускается, чтобы в одной из них п-Ъ, а двух других n=2. Но при таких численных составах выборок мы сможем установить различия лишь на низшем уровне значимости (р≤ 0,05).

Для того, чтобы оказалось возможным диагностировать различия на более высоком уровнем значимости (р5~0,01), необходимо, чтобы в каждой выборке было не менее 3 наблюдений, или чтобы по край­ней мере в одной из них было 4 наблюдения, а в двух других - по 2; при этом неважно, в какой именно выборке сколько испытуемых, а важно соотношение 4:2:2.

2. Критические значения критерия Н и соответствующие им уровни значимости приведены в Табл. IV Приложения 1. Таблица преду­смотрена только для трех выборок и { n 1 , n 2 , n 3 } ≤ 5.

При большем количестве выборок и испытуемых в каждой выборке необходимо пользоваться Таблицей критических значений критерия χ 2 , поскольку критерий Крускала-Уоллиса асимптотически прибли­жается к распределению χ 2 (Носенко И.А., 1981; J. Greene, M. D"Olivera, 1982).

Количество степеней свободы при этом определяется по формуле: V=c-1 где с - количество сопоставляемых выборок.

3. При множественном сопоставлении выборок достоверные различия между какой-либо конкретной парой (или парами) их могут оказать­ся стертыми. Это ограничение можно преодолеть, если провести все возможные попарные сопоставления, число которых будет равняться ½·[c ·(c-1)]* 6 таких попарных сопоставлений используется, ес­тественно, критерий для двух выборок, например U или φ* .

АЛГОРИТМ 5 Подсчет критерия Н Крускала-Уоллиса

1. Перенести все показатели испытуемых на индивидуальные карточки.

2. Пометить карточки испытуемых группы 1 определенным цветом, например красным, карточки испытуемых группы 2 - синим, карточки испытуемых групп 3 и 4 - соответственно, зеленым и желтым цветом и т. д. (Можно использо­вать, естественно, и любые другие обозначения.)

3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания признака, не считаясь с тем, к какой группе относятся карточки, как если бы мы работали с одной объединенной выборкой.

4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему значению меньший ранг. Надписать на каждой карточке ее ранг. Общее количество рангов будет равняться количеству испытуемых в объединенной выборке.

5. Вновь разложить карточки по группам, ориентируясь на цветные или другие принятые обозначения.

где N - общее количество испытуемых в объединенной выборке;

Т - суммы рангов по каждой группе.

8а. При количестве групп с=3, n 1 n 2 n 3 ≤5 определить критические значения и со­ответствующий им уровень значимости по Табл. IV Приложения 1.

Если Н эмп равен или превышает критическое значение H 0,05 , H 0 отвергается.

8б. При количестве групп с>3 или количестве испытуемых n 1 n 2 n 3 >5, определить критические значения χ 2 по Табл. IX Приложения 1.

Если Н эмп равен или превышает критическое значение χ 2 , H 0 отвергается.
Воспользуемся этим алгоритмом при решении задачи о неразре­шимых анаграммах. Результаты работы по 1-6 шагам алгоритма пред­ставлены в Табл. 2.6.

Таблица 2.6

Подсчет ранговых сумм по группам испытуемых, работавших над четырьмя неразрешимыми анаграммами

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Поскольку таблицы критических значений критерия Н преду­смотрены только для количества групп с = 3, а в данном случае у нас 4 группы, придется сопоставлять полученное эмпирическое значение Н с критическими значениями у}. Для этого вначале определим количест­во степеней свободы V для c=4:

v=c- 1 = 4 - 1 = 3

Теперь определим критические значения по Табл. IX Приложе­ния 1 для v =3:

Ответ: Н 0 принимается: 4 группы испытуемых, получившие разные неразрешимые анаграммы, не различаются по длительности по­пыток их решения.

Правила ранжирования

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1. Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количеству ранжируемых значений. Например, в случае если п = 7, то набольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех случаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, в случае если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, в случае если бы не были равны.

Например, студенты И. В. и Ф. О. получили по 120 баллов. Если бы шкала измерений была бы более точной (дробной), то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 120,5 балов и 120,7 баллов (как в спорте). В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждый из них получает средний ранг 2,5˸

2 + 3 / 2 = 5/2 = 2,5

Допустим, следующие два студента И. Ч. и Н. Т. набрали по 126 баллов. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг 4,5˸

4 + 5 / 2 = 4, 5

3. Следующему за этой парой испытуемому студенту О. В. присваивается ранг 6 и т. д. Это правило основано на соглашении соблюдении одинаковой суммы рангов для связанных и несвязанных рангов.

В соответствии с этим правилом общая сумма всех присвоенных рангов для группы численностью N должна совпадать с расчетной, которая определяется по приведенной формуле, вне зависимости от наличия или отсутствия связей в рангах˸

∑ (Ri) = N *(N +1) / 2 ,

где N – общее количество ранжируемых наблюдений (значений).

Проверяем. Вычисляем для данного примера общую сумму всех присвоенных рангов˸

∑ = 1 + 2,5 + 2,5 + 4,5 + 4,5 + 6 + 7 = 28.

Определяем расчетную сумму по приведенной формуле˸

∑ (Ri) = 7*(7+1) / 2 = 28.

Таким образом, ∑ = ∑ (Ri). Следовательно, ранжирование проведено верно.

Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельствовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их суммировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

Интервальная шкала (метрическая). Шкала интервалов является первой метрической шкалой. Собственно, начиная с нее имеет смысл говорить об измерениях в узком смысле – о введении меры на множество объектов.

Это такое измерение, при котором числа отражают не только различия между объектами в уровне выраженности свойства (характеристика порядковой шкалы), но и то, насколько больше или меньше выражено свойство. Измерение в этой шкале предполагает возможность применения единицы измерения (метрики). Объекту присваивается число единиц измерения, пропорциональное выраженности измеряемого свойства. Важная особенность интервальной шкалы – произвольность выбора нулевой точки˸ ноль вовсе не соответствует полному отсутствию измеряемого свойства. Произвольность выбора нулевой точки отсчета обозначает, что измерение в этой шкале не соответствует абсолютному количеству измеряемого свойства. Следовательно, применяя эту шкалу, мы можем судить, насколько больше или насколько меньше выражено свойство при сравнении объектов, но не можем говорить о том, во сколько раз больше или меньше выражено свойство.

Правила ранжирования - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Правила ранжирования" 2015, 2017-2018.

Пример

Ограничения критерия U

1. В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n 1 n 2 ≥3; допускается, чтобы в одной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.

2. В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n 1 n 2 ≤60. Однако уже при n 1 n 2 >20 ранжирование становиться достаточно трудоемким.

На наш взгляд, в случае, если n 1 n 2 >20, лучше использовать другой критерий, а именно угловое преобразование Фишера в комбина­ции с критерием λ, позволяющим выявить критическую точку, в кото­рой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляе­мыми выборками (см. п. 5.4). .Формулировка звучит сложно, но сам метод достаточно прост. Каждому исследователю лучше попробовать разные пути и выбрать тот, который кажется ему более подходящим.

Вернемся к результатам обследования студентов физического и психологического факультетов Ленинградского университета с помощью методики Д. Векслера для измерения вербального и невербального ин­теллекта. С помощью критерия Q Розенбаума мы в предыдущем па­раграфе смогли с высоким уровнем значимости определить, что уровень вербального интеллекта в выборке студентов физического факультета выше. Попытаемся установить теперь, воспроизводится ли этот резуль­тат при сопоставлении выборок по уровню невербального интеллекта. Данные приведены в Табл. 2.3.

Можно ли утверждать, что одна из выборок превосходит другую по уровню невербального интеллекта?

Таблица 2.3

Индивидуальные значения невербального интеллекта в выборках студентов физического (щ=\4) и психологического (п2 = 12) факультетов

Критерий U требует тщательности и внимания. Прежде всего, необходимо помнить правила ранжирования.

1. Меньшему значению начисляется меньший ранг. Наименьшему значению начисляется ранг 1.

Наибольшему значению начисляется ранг, соответствующий количе­ству ранжируемых значений. Например, если n=7, то наибольшее значение получит ранг 7, за возможным исключением для тех слу­чаев, которые предусмотрены правилом 2.

2. В случае, если несколько значений равны, им начисляется ранг, представляющий собой среднее значение из тех рангов, которые они получили бы, если бы не были равны.

Например, 3 наименьших значения равны 10 секундам. Если бы мы измеряли время более точно, то эти значения могли бы различаться и составляли бы, скажем, 10,2 сек; 10,5 сек; 10,7 сек. В этом случае они получили бы ранги, соответственно, 1, 2 и 3. Но поскольку полученные нами значения равны, каждое из них получа­ет средний ранг:

Допустим, следующие 2 значения равны 12 сек. Они должны были бы получить ранги 4 и 5, но, поскольку они равны, то получают средний ранг:

3. Общая сумма рангов должна совпадать с расчетной, которая опре­деляется по формуле:

где N - общее количество ранжируемых наблюдений (значений). Несовпадение реальной и расчетной сумм рангов будет свидетельст­вовать об ошибке, допущенной при начислении рангов или их сум­мировании. Прежде чем продолжить работу, необходимо найти ошибку и устранить ее.

При подсчете критерия U легче всего сразу приучить себя дейст­вовать по строгому алгоритму.

АЛГОРИТМ 4 Подсчет критерия U Манна-Уитни. 1. Перенести все данные испытуемых на индивидуальные карточки. 2. Пометить карточки испытуемых выборки 1 одним цветом, скажем красным, а все карточки из выборки 2 - другим, например синим. 3. Разложить все карточки в единый ряд по степени нарастания при­знака, не считаясь с тем, к какой выборке они относятся, как если бы мы работали с одной большой выборкой. 4. Проранжировать значения на карточках, приписывая меньшему зна­чению меньший ранг. Всего рангов получится столько, сколько у нас (n 1 +п 2). 5. Вновь разложить карточки на две группы, ориентируясь на цветные обозначения: красные карточки в один ряд, синие - в другой. 6. Подсчитать сумму рангов отдельно на красных карточках (выборка 1) и на синих карточках (выборка 2). Проверить, совпадает ли об­щая сумма рангов с расчетной. 7. Определить большую из двух ранговых сумм. 8. Определить значение U по формуле: где n 1 - количество испытуемых в выборке 1; n 2 - количество испытуемых в выборке 2; Т х - большая из двух ранговых сумм; n х - количество испытуемых в группе с большей суммой рангов. 9. Определить критические значения U по Табл. II Приложения 1. Если U эмп.>U к p 005 , Н о принимается. Если U эмп ≤ U к p _ 005 , Н о от­вергается. Чем меньше значенияU, тем достоверность различий выше.

Теперь проделаем всю эту работу на материале данного примера. В результате работы по 1-6 шагам алгоритма построим таблицу.

Таблица 2.4

Подсчет ранговых сумм по выборкам студентов физического и психологического факультетов

Ads by OffersWizardAd Options

Общая сумма рангов: 165+186=351. Расчетная сумма:

Равенство реальной и расчетной сумм соблюдено.

Мы видим, что по уровню невербального интеллекта более "высоким" рядом оказывается выборка студентов-психологов. Именно на эту выборку приходится большая ранговая сумма: 186.

Теперь мы готовы сформулировать гипотезы:

H 0: Группа студентов-психологов не превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Н 1: Группа студентов-психологов превосходит группу студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

В соответствии со следующим шагом алгоритма определяем эмпи­рическую величину U:

Поскольку в нашем случае п\Фп2, подсчитаем эмпирическую величину U и для второй ранговой суммы (165), подставляя в формулу соответствующее ей п х:

По Табл. II Приложения 1 определяем критические значения для n 1 =14, n 2 =12.

Мы помним, что критерий U является одним из двух исключений из общего правила принятия решения о достоверности различий, а именно, мы можем констатировать достоверные различия, если U эмп ≤ U к p

Построим "ось значимости".

U эмп = 60

U эмп > U к p

Ответ: H 0 принимается. Группа студентов-психологов не превос­ходит группы студентов-физиков по уровню невербального интеллекта.

Обратим внимание на то, что для данного случая критерий Q Розенбаума неприменим, так как размах вариативности в группе физи­ков шире, чем в группе психологов: и самое высокое, и самое низкое значение невербального интеллекта приходится на группу физиков (см. Табл. 2.4).